第281章 广义模曲线！

联系了王豪，让他从食堂给自己带一份早点过来，随后就坐在了办公桌前，拿出了草稿纸和笔，开始了这最关键的推导。

广义模曲线，那么首先就得先回顾一下模曲线的定义。

【对于一个正整数N，定义模曲线X(N)为复上半平面H的模块空间(moduli space)，模掉由Γ(N)作用产生的等价关系。这里，Γ(N)是模群SL(2，Z)的主同余子群，定义为……】

“接下来定义广义模曲线……”

【设n是一个正整数，f是一个n维的Siegel模形式，即全纯函数f:H_n→ C，其中H_n是n×n复对称矩阵τ=(τ_ij)的上半空间，其满足:对于所有的γ∈Sp(2n，Z)，有f((Aτ+B)(Cτ+D)^(-1))=det(Cτ+D)^kf(τ)，其中(A B; C D)是Sp(2n，Z)中的元素，k是f的权;在H_n的每个尖点处，f满足一定的增长条件。】

“于是，对于这样的f，就可以定义广义模曲线X_f^(n)为Siegel上半空间H_n的模块空间，模掉由Γ^(n)(f)作用产生的等价关系。”

【这里，Γ^(n)(f)是Siegel模群Sp(2n，Z)的一个子群，它依赖于f，定义为:Γ^(n)(f)={γ∈Sp(2n，Z)|f(γ(τ))=f(τ)，对于所有τ∈H_n}】

“到这里，X_f^(n)就成功参数化了所有带有f所描述的模性质的n维阿贝尔簇。”

写到了这里，萧易微微一笑。

到这一步，他就算是将最关键的问题解决了。

这个得到拓展的新几何概念，虽然被命名为广义模曲线，但是俨然已经成为了一个全新的东西。

它更加体现出了现代数学中的一个重要思想，那就是通过引入新的数学结构，从而在更高的层次上理解事物的本质，发现隐藏的联系。

“那么，接下来，也该回到扩展L-函数的本身了。”

萧易只是简单的一观察，就很容易能够注意到对于每个n维广义模曲线X_f^(n)，都存在一类特殊的n维阿贝尔簇，它们的扩展L-函数与X_f^(a函数有密切的关系。

当然，仅仅只是观察到还不够，还需要给出证明。

但是既然已经到了这里，那么也就不存在太大的难度了。

花费了几张草稿纸，他最终给出了一个全新的定理：设E是一个n维阿贝尔簇，f是一个n维Siegel模形式；如果E的模性质由f描述，那么E的扩展L-函数L(s，E，?)等于广义模曲线X_f^(a函数ζ(X_f^(n)，s)。

“如此，最麻烦的一步，也就成功完成了。”

那么，接下来要做的就是，向着最后的证明前进！

阿廷猜想，如今已经拦不住他了。

通过将每个扩展L-函数与一个广义模曲线联系起来，他可以使用广义模曲线的几何性质，如维数、Betti数、Hodge结构等，来刻画扩展L-函数的特性。

最终，答案也终于放在了他的眼前。

半个月后。

……