第四十八章 我要交卷

秦克刷刷刷地在试卷的答题区边写边画起来：

“解：把1，2，…，13按如下规则排成一个圆圈：先排1，在1旁边放9（与1的差为8），在9的旁边放4（与9的差为5），这样继续放下去，每个数旁边的数与它相差8或5，最后得到如图1所示的一个圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，3，11，6），圈上的数能同时满足：”

“（1）每两个相邻的数的差或是8，或是5；

（2）两个不相邻的数的差既不等于5，也不等于8。

所以本题可以化归为：在这个圈上，至多能选几个数，使得每两个数在圈上不相邻。”

OK，搞定，完成化归了。

这个化归后的问题，是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了？

所以接下来秦克做起来毫无难度可言，直接将那例子的解法写出来就行了。

“再画一个圈，依次排上1，2，…，13，那么可以选出6个数字，符合不相邻的条件，比如1，3，5，7，9，11。见图2。

接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1，这时与之相邻的2，13都不能选了，把剩下的10个数字配成5对，分别是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在这5对数字中，每一对至多只能选出1个数，也就是说，连同数字1在内，最多只能选出6个数字，使它们互不相邻。

由此可以得出本问题的答案是：6。”

秦克轻松加愉快，在五分钟不到就搞定第一道附加题。

他看了眼窗外，不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法，如果也能想起，那这25分她自然能稳稳收入囊中了。

加油吧，学委，我只能帮你到这里了。

秦克又看向第二题，第二题也相当有难度，难怪能选为附加卷的大题。

“附加题2：设△ABC中，顶点A，B，C的对边分别是a，b，c，内心I到顶点A，B，C的距离分别为m，n，l，求证：al^2+bm^2+^2=abc”

这一题看似条件不足无从下手，但秦克略一思索，便有了思路。

他决定用面积法来证明。

面积法最基本的思想，就是用两种不同的方法计算同一个面积，得到的结果应该是相等的。

首先引入△ABC的外接圆半径R，由正弦定理a/sinA=b/sinB=C=2R，

三角形面积S=(1/2)absinC

=(1/2)ab·c/2R

=abc/4R，

所以S=abc/4R。

再将△ABC分割为3个四边形，ΔABC的面积S，显然等于3个四边形的面积之和S。

如此便将上面的S=abc/4R与3个四边形面积之和，建立起面积等式。

再根据3个四边形都有外接圆，且对角线相互垂直，用已知量来表示它们的面积并不会太难，再借助△ABC的外接圆半径R可以消去角的正弦，不出意外，轻易就能证明这题的结论。

OK，开干。

“证明：设△ABC内切圆与三边BC，CA，AB分别相切于D，E，F，分别连接EF，EI，FI，DI，AI，分别得到AEIF，BFID，CDIE三个四边形……”

“所以S△ABC =SAEIF+SBFID+SCDIE=（al^2+bm^2+^2）/4R，又因为S△ABC =abc/4R，由面积法可知两种方法求得的S△ABC相等，由此得出al^2+bm^2+^2=abc”

秦克神色轻松地放下笔，最后检查了一遍确定没漏题后，看看左右的考生，见人人都做得眉头紧锁，全文彦倒已恢复了正常，正刷刷刷地答题。

秦克眼珠一转，故意举手道：“报告老师。”

原本考室里就非常安静，只有监考老师踱步的声音和极偶尔的咳嗽声，所以秦克的声音虽然不算大，多数学生还是听到的，不由都好奇地抬头看了他一眼。

尤其是全文彦，听到秦克的声音下意识地浑身一个激灵，连做题的思路都被打断了。

这时已有个三十岁出头的监考女老师走了过来，问秦克：“同学，你有什么事？”

“我想交卷。”

听到这句话，考室里的一众苦战考卷的考生们几乎同时都冒出一个念头，终于有人被这次题目又多又难的初赛卷子给弄崩溃、要早早放弃了。

众人心里感叹之余，也暗暗给自己鼓励，自己可不能像这家伙一样轻易就放弃了，得坚持和发挥奥林匹克精神，就算不会做，也要坚持到最后一刻！

加油，XXX，你行的！

考室里的学生们心思大同小异，全文彦和远处的池嘉慕更是精神一振。

两人原本进入考场后心情久久不能平伏，好不容易进入状态，刚刚解了一两道题，就听到了秦克要交卷，两人在心头一松的同时，也不由“呵”地冷笑，这痞子果然水平很烂，也不知道怎么混入参赛队伍中的，赶紧滚吧。